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機器學(xué)習(xí)方法之決策樹建模

決策樹是一種簡單的機器學(xué)習(xí)方法。決策樹經(jīng)過訓(xùn)練之后，看起來像是以樹狀形式排列的一系列if-then語句。一旦我們有了決策樹，只要沿著樹的路徑一直向下，正確回答每一個問題，最終就會得到答案。沿著最終的葉節(jié)點向上回溯，就會得到一個有關(guān)最終分類結(jié)果的推理過程。

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決策樹：

 
 
 
   
  
  
  class decisionnode:   
  
  
    def __init__(self,col=-1,value=None,results=None,tb=None,fb=None):   
  
  
      self.col=col #待檢驗的判斷條件   
  
  
      self.value=value #對應(yīng)于為了使結(jié)果為true，當(dāng)前列必須匹配的值   
  
  
      self.results=results #針對當(dāng)前分支的結(jié)果   
  
  
      self.tb=tb #結(jié)果為true時，樹上相對于當(dāng)前節(jié)點的子樹上的節(jié)點   
  
  
      self.fb=fb #結(jié)果為false時，樹上相對于當(dāng)前節(jié)點的子樹上的節(jié)點

下面利用分類回歸樹的算法。為了構(gòu)造決策樹，算法首先創(chuàng)建一個根節(jié)點，然后評估表中的所有觀測變量，從中選出最合適的變量對數(shù)據(jù)進行拆分。為了選擇合適的變量，我們需要一種方法來衡量數(shù)據(jù)集合中各種因素的混合情況。對于混雜程度的測度，有幾種度量方式可供選擇：

基尼不純度：將來自集合中的某種結(jié)果隨機應(yīng)用于集合中某一數(shù)據(jù)項的預(yù)期誤差率。

維基上的公式是這樣：

下面是《集體智慧編程》中的python實現(xiàn)：

def uniquecounts(rows):

results={}

for row in rows:

# The result is the last column

r=row[len(row)-1]

if r not in results: results[r]=0

results[r]+=1

return results

def giniimpurity(rows):

total=len(rows)

counts=uniquecounts(rows)

imp=0

for k1 in counts:

p1=float(counts[k1])/total

#imp+=p1*p1

for k2 in counts:

if k1==k2: continue

p2=float(counts[k2])/total

imp+=p1*p2

return imp#1-imp

每一結(jié)果出現(xiàn)次數(shù)除以集合總行數(shù)來計算相應(yīng)概率，然后把所有這些概率值的乘積累加起來。這樣得到某一行數(shù)據(jù)被隨機分配到錯誤結(jié)果的總概率。（顯然直接按照公式的算法（注釋中）效率更高。）這一概率越高，說明對數(shù)據(jù)的拆分越不理想。

熵：代表集合的無序程度。信息論熵的概念在吳軍的《數(shù)學(xué)之美》中有很好的解釋：

我們來看一個例子，馬上要舉行世界杯賽了。大家都很關(guān)心誰會是冠軍。假如我錯過了看世界杯，賽后我問一個知道比賽結(jié)果的觀眾“哪支球隊是冠軍”？他不愿意直接告訴我，而要讓我猜，并且我每猜一次，他要收一元錢才肯告訴我是否猜對了，那么我需要付給他多少錢才能知道誰是冠軍呢? 我可以把球隊編上號，從 1 到 32，然后提問： “冠軍的球隊在 1-16 號中嗎?” 假如他告訴我猜對了，我會接著問： “冠軍在 1-8 號中嗎?” 假如他告訴我猜錯了，我自然知道冠軍隊在 9-16 中。這樣只需要五次，我就能知道哪支球隊是冠軍。所以，誰是世界杯冠軍這條消息的信息量只值五塊錢。當(dāng)然，香農(nóng)不是用錢，而是用 “比特”（bit）這個概念來度量信息量。一個比特是一位二進制數(shù)，計算機中的一個字節(jié)是八個比特。在上面的例子中，這條消息的信息量是五比特。（如果有朝一日有六十四個隊進入決賽階段的比賽，那么“誰世界杯冠軍”的信息量就是六比特，因為我們要多猜一次。）讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn), 信息量的比特數(shù)和所有可能情況的對數(shù)函數(shù) log 有關(guān)。 (log32=5, log64=6。）有些讀者此時可能會發(fā)現(xiàn)我們實際上可能不需要猜五次就能猜出誰是冠軍，因為象巴西、德國、意大利這樣的球隊得冠軍的可能性比日本、美國、韓國等隊大的多。因此，我們第一次猜測時不需要把 32 個球隊等分成兩個組，而可以把少數(shù)幾個最可能的球隊分成一組，把其它隊分成另一組。然后我們猜冠軍球隊是否在那幾只熱門隊中。我們重復(fù)這樣的過程，根據(jù)奪冠概率對剩下的候選球隊分組，直到找到冠軍隊。這樣，我們也許三次或四次就猜出結(jié)果。因此，當(dāng)每個球隊奪冠的可能性（概率）不等時，“誰世界杯冠軍”的信息量的信息量比五比特少。香農(nóng)指出，它的準(zhǔn)確信息量應(yīng)該是
= -（p1*log p1 + p2 * log p2 + ．．．＋p32 *log p32)，其中，p1，p2 ，．．．，p32 分別是這 32 個球隊奪冠的概率。香農(nóng)把它稱為“信息熵” (Entropy)，一般用符號 H 表示，單位是比特。有興趣的讀者可以推算一下當(dāng) 32 個球隊奪冠概率相同時，對應(yīng)的信息熵等于五比特。有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的讀者還可以證明上面公式的值不可能大于五。對于任意一個隨機變量 X（比如得冠軍的球隊），它的熵定義如下：

《集》中的實現(xiàn)：

def entropy(rows):

from math import log

log2=lambda x:log(x)/log(2)

results=uniquecounts(rows)

# Now calculate the entropy

ent=0.0

for r in results.keys():

p=float(results[r])/len(rows)

ent=ent-p*log2(p)

return ent

熵和基尼不純度之間的主要區(qū)別在于，熵達到峰值的過程要相對慢一些。因此，熵對于混亂集合的判罰要更重一些。

我們的算法首先求出整個群組的熵，然后嘗試?yán)妹總€屬性的可能取值對群組進行拆分，并求出兩個新群組的熵。算法會計算相應(yīng)的信息增益。信息增益是指當(dāng)前熵與兩個新群組經(jīng)加權(quán)平均后的熵之間的差值。算法會對每個屬性計算相應(yīng)的信息增益，然后從中選出信息增益最大的屬性。通過計算每個新生節(jié)點的最佳拆分屬性，對分支的拆分過程和樹的構(gòu)造過程會不斷持續(xù)下去。當(dāng)拆分某個節(jié)點所得的信息增益不大于0的時候，對分支的拆分才會停止：

def buildtree(rows,scoref=entropy):

if len(rows)==0: return decisionnode()

current_score=scoref(rows)

# Set up some variables to track the best criteria

best_gain=0.0

best_criteria=None

best_sets=None

column_count=len(rows[0])-1

for col in range(0,column_count):

# Generate the list of different values in

# this column

column_values={}

for row in rows:

column_values[row[col]]=1

# Now try dividing the rows up for each value

# in this column

for value in column_values.keys():

(set1,set2)=divideset(rows,col,value)

# Information gain

p=float(len(set1))/len(rows)

gain=current_score-p*scoref(set1)-(1-p)*scoref(set2)

if gain>best_gain and len(set1)>0 and len(set2)>0:

best_gain=gain

best_criteria=(col,value)

best_sets=(set1,set2)

# Create the sub branches

if best_gain>0:

trueBranch=buildtree(best_sets[0])

falseBranch=buildtree(best_sets[1])

return decisionnode(col=best_criteria[0],value=best_criteria[1],

tb=trueBranch,fb=falseBranch)

else:

return decisionnode(results=uniquecounts(rows))

函數(shù)首先接受一個由數(shù)據(jù)行構(gòu)成的列表作為參數(shù)。它遍歷了數(shù)據(jù)集中的每一列，針對各列查找每一種可能的取值，并將數(shù)據(jù)集拆分成兩個新的子集。通過將每個子集的熵乘以子集中所含數(shù)據(jù)項在元數(shù)據(jù)集中所占的比重，函數(shù)求出了每一對新生子集的甲醛平均熵，并記錄下熵最低的那一對子集。如果由熵值最低的一對子集求得的加權(quán)平均熵比當(dāng)前集合的當(dāng)前集合的熵要大，則拆分結(jié)束了，針對各種可能結(jié)果的計數(shù)所得將會被保存起來。否則，算法會在新生成的子集繼續(xù)調(diào)用buildtree函數(shù)，并把調(diào)用所得的結(jié)果添加到樹上。我們把針對每個子集的調(diào)用結(jié)果，分別附加到節(jié)點的True分支和False分支上，最終整棵樹就這樣構(gòu)造出來了。

我們可以把它打印出來：

def printtree(tree,indent=''):

# Is this a leaf node?

if tree.results!=None:

print str(tree.results)

else:

# Print the criteria

print str(tree.col)+':'+str(tree.value)+'? '

# Print the branches

print indent+'T->',

printtree(tree.tb,indent+' ')

print indent+'F->',

printtree(tree.fb,indent+' ')

現(xiàn)在到我們使用決策樹的時候了。接受新的觀測數(shù)據(jù)作為參數(shù)，然后根據(jù)決策樹對其分類：

def classify(observation,tree):

if tree.results!=None:

return tree.results

else:

v=observation[tree.col]

branch=None

if isinstance(v,int) or isinstance(v,float):

if v>=tree.value: branch=tree.tb

else: branch=tree.fb

else:

if v==tree.value: branch=tree.tb

else: branch=tree.fb

return classify(observation,branch)

該函數(shù)采用與printtree相同的方式對樹進行遍歷。每次調(diào)用后，函數(shù)會根據(jù)調(diào)用結(jié)果來判斷是否到達分支的末端。如果尚未到達末端，它會對觀測數(shù)據(jù)評估，以確認列數(shù)據(jù)是否與參考值匹配。如果匹配，則會在True分支調(diào)用classify，不匹配則在False分支調(diào)用classify。

上面方法訓(xùn)練決策樹會有一個問題：

過度擬合：它可能會變得過于針對訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其熵值與真實情況相比可能會有所降低。剪枝的過程就是對具有相同父節(jié)點的一組節(jié)點進行檢查，判斷如果將其合并，熵的增加量是否會小于某個指定的閾值。如果確實如此，則這些葉節(jié)點會被合并成一個單一的節(jié)點，合并后的新節(jié)點包含了所有可能的結(jié)果值。這種做法有助于過度避免過度擬合的情況，使得決策樹做出的預(yù)測結(jié)果，不至于比從數(shù)據(jù)集中得到的實際結(jié)論還要特殊：

def prune(tree,mingain):

# 如果分支不是葉節(jié)點，則對其進行剪枝操作

if tree.tb.results==None:

prune(tree.tb,mingain)

if tree.fb.results==None:

prune(tree.fb,mingain)

# 如果兩個分支都是葉節(jié)點，則判斷它們是否需要合并

if tree.tb.results!=None and tree.fb.results!=None:

# 構(gòu)造合并后的數(shù)據(jù)集

tb,fb=[],[]

for v,c in tree.tb.results.items():

tb+=[[v]]*c

for v,c in tree.fb.results.items():

fb+=[[v]]*c

# 檢查熵的減少情況

delta=entropy(tb+fb)-(entropy(tb)+entropy(fb)/2)

if delta

# 合并分支

tree.tb,tree.fb=None,None

tree.results=uniquecounts(tb+fb)

當(dāng)我們在根節(jié)點調(diào)用上述函數(shù)時，算法將沿著樹的所有路徑向下遍歷到只包含葉節(jié)點的節(jié)點處。函數(shù)會將兩個葉節(jié)點中的結(jié)果值合起來形成一個新的列表，同時還會對熵進行測試。如果熵的變化小于mingain參數(shù)指定的值，則葉節(jié)點也可能成為刪除對象，以及與其它節(jié)點的合并對象。

如果我們?nèi)笔Я四承?shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)是確定分支走向所必需的，那么我們可以選擇兩個分支都走。在一棵基本的決策樹中，所有節(jié)點都隱含有一個值為1的權(quán)重，即觀測數(shù)據(jù)項是否屬于某個特定分類的概率具有百分之百的影響。而如果要走多個分支的話，那么我們可以給每個分支賦以一個權(quán)重，其值等于所有位于該分支的其它數(shù)據(jù)行所占的比重：

def mdclassify(observation,tree):

if tree.results!=None:

return tree.results

else:

v=observation[tree.col]

if v==None:

tr,fr=mdclassify(observation,tree.tb),mdclassify(observation,tree.fb)

tcount=sum(tr.values())

fcount=sum(fr.values())

tw=float(tcount)/(tcount+fcount)

fw=float(fcount)/(tcount+fcount)

result={}

for k,v in tr.items(): result[k]=v*tw

for k,v in fr.items(): result[k]=v*fw

return result

else:

if isinstance(v,int) or isinstance(v,float):

if v>=tree.value: branch=tree.tb

else: branch=tree.fb

else:

if v==tree.value: branch=tree.tb

else: branch=tree.fb

return mdclassify(observation,branch)

mdclassify與classify相比，唯一的區(qū)別在于末尾處：如果發(fā)現(xiàn)有重要數(shù)據(jù)缺失，則每個分支的對應(yīng)結(jié)果值都會被計算一遍，并且最終的結(jié)果值會乘以它們各自的權(quán)重。

對與數(shù)值型問題，我們可以使用方差作為評價函數(shù)來取代熵或基尼不純度。偏低的方差代表數(shù)字彼此都非常接近，而偏高的方差則意味著數(shù)字分散得很開。這樣，選擇節(jié)點判斷條件的依據(jù)就變成了拆分后令數(shù)字較大者位于樹的一側(cè)，數(shù)字較小者位于樹的另一側(cè)。

網(wǎng)站名稱：機器學(xué)習(xí)方法之決策樹建模
轉(zhuǎn)載來于：http://www.fisionsoft.com.cn/article/cdigiej.html

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